m04：集合と位相の愚痴


０：第一印象

・数学科に在籍したことはないので、学生の頃はまったく触れたことはなかった。せいぜい高校数学でベン図やらド・モアブルの法則を齧ったね、という程度。しかし社会人になってから数学の本をパラ読みすると、「集合と位相は数学の基本だ」云々と書いてあるではないか。…そうか、オレは基本を知らなかったのか。それじゃ独学して基本とやらを知りたいな、というのが第一歩。



１：どの本を？

amazon 他で初学者の独習用に良いとされている下記３冊を購入してみた。
(1)：集合と位相への入門　ユークリッド空間の位相 (ライブラリ新数学大系) 　鈴木　晋一　著
(2)：はじめよう位相空間　大田　春外　著
(3)：集合と位相　そのまま使える答えの書き方

松坂和夫も有名らしいが、とりあえずはスルー。
(1) (2) (3) いずれも問題の解答がかなり詳しく掲載されていて、良さそうである。
私が学生の頃は問題の詳解が載っている本などごく僅かだったので、時代も変わったものだ。


２：内容（１）

・有限の集合論の部分がクッソつまらんｗｗｗ。高校の繰り返しｗｗｗ　ド・モアブルとかどうでも良くね？
→集合ってのは無限集合からが面白いんだって偉い人が言っていた。
→曰く「集合論は元来無限集合を考えるために創られたのであって、まず有限集合の集合論があって、それが発展して無限集合の集合論になったのではない。一対一の対応なる概念も、二つの無限集合の大小を比較するために導入されたのだろう。有限集合の大小は、その元の数を数えて見ればすぐわかるから、何もわざわざ一対一の対応を持出す必要はない。一対一の対応が重要な概念であることを理解するには、したがって一対一の対応がつかない二つの無限集合が実際に存在することを見なければならない。」byくにひこ。


・位相：物理→phase、数学→topology
紛らわしい話だ。


・距離空間→距離の公理３つ。正定置性、対称性、三角不等式


・包含関係として。ユークリッド空間→距離空間→位相空間





・「対等」→「可算集合」→有理数は可算集合、実数は非可算集合

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　　　　　　 ／ ＼　　／＼　ｷﾘｯ
.　　　　　／　（ー） 　（ー）＼　　　　＜「正の偶数の集合Ａと、自然数の集合Ｎを比較すると
　　　　／　　 ⌒（__人__）⌒ ＼　　　　　　無限の度合いは後者の方が２倍ジャン？」
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　ﾐ　ﾐ　ﾐ　　oﾟ(（●）) (（●）)ﾟo　　　　　　ﾐ　ﾐ　ﾐ　＜でも「ＡとＮの無限の度合いは全く同じ」だっておｗｗｗ
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　|　　　　|　　 l||l　从人 l||l 　　　　 l||l 从人 l||l　　バンバン
　ヽ　　　 -一””””~~｀`’ー–､　　　-一”””’ー-､
　　ヽ ＿＿＿＿(⌒)(⌒)⌒)　)　　(⌒＿(⌒)⌒)⌒))

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　　　　 　／ノ　　＼　　 u. ＼　！？
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<ｸｽｸｽ　 　／　　　 　 　＼！？？
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「対等」の定義が、"少なくとも１つの方法で１対１対応すれば良い"、というクセの（？）あるものだからこうなる。
「全単射が存在すれば、二つの元の数は同じ」を素直に拡張したものと言える。
この考えであると、直感では２倍の差がありそうな自然数と正の偶数、整数と偶数、あるいは自然数と整数の数は同じとなる。
もっとも、これらが２倍の差があるという規則をもった数学を作ることもできるだろうが…。


・Ｎと[0,1]の基数が違うことを示してやれば（これが難しい）、その後のf:[0,1]→Ｒはtanπ/2(2x-1)で簡単。


２：内容（２）

・コンパクト、連結